Question

【題目】已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，若橢圓：的離心率為，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，的面積為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知點(diǎn)，為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，若有，證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）由離心率得,又，，又，即，則，,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）先分析特殊情況，當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，由直線與圓錐曲線的的位置關(guān)系得 ，因?yàn)?/span>

，代入整理得：，直線的方程為，故直線超過(guò)定點(diǎn)，②當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，若，此時(shí)兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，也有．

試題解析：（1）由離心率得,又，，

又，即，則，

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）①當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立

消去y整理得，

設(shè)，則

故=

得

即

整理得

直線的方程為，

故直線超過(guò)定點(diǎn)；

②當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，若，此時(shí)兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，也有=-2

綜上，直線恒過(guò)定點(diǎn).