Question

若曲線C：y=x³-2ax²+2ax上任意點處的切線的傾斜角都為銳角，且a為整數．
（1）求曲線C的解析式；
（2）求過點（1，1）的曲線的切線方程．

Answer 1

解：（1）∵曲線C：y=x³-2ax²+2ax上任意點處的切線的傾斜角都為銳角
∴y'=3x²-4ax+2a＞0恒成立，
∴△=16a²-24a＜0，
∴，…．（3分）
∵a∈Z，
∴a=1，
∴f（x）=x³-2x²+2x…（6分）
（2）令切點為（，
∴，…（8分）
∵點（1，1）在切線上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴x₀=1或．
∴切線方程為y=x或…．（12分）
分析：（1）根據曲線C：y=x³-2ax²+2ax上任意點處的切線的傾斜角都為銳角，可得y'=3x²-4ax+2a＞0恒成立，結合a為整數，可求曲線C的解析式；
（2）設出切點坐標，表示出切線方程，利用切點在曲線及切線上，即可求得過點（1，1）的曲線的切線方程．
點評：本題以函數為載體，考查導數知識的運用，考查切線的斜率，考查導數的幾何意義，應注意區分過點的切線與在點處的切線含義的不同．