Question

若直線l過拋物線y²=4x的焦點，與拋物線交于A，B兩點，且線段AB中點的橫坐標為2，求線段AB的長．

Answer 1

分析：根據拋物線方程得它的準線為l'：x=-1，從而得到線段AB中點M到準線的距離等于3．過A、B分別作AC、BD與l'垂直，垂足分別為C、D，根據梯形中位線定理算出|AC|+|BD|=2|MN|=6，結合拋物線定義即可算出AB的長．

解答：解：∵拋物線方程為y²=4x，
∴拋物線的焦點為F（1，0），準線為l'：x=-1
設線段AB的中點為M（2，y₀），
則M到準線的距離為：|MN|=2-（-1）=3，
過A、B分別作AC、BD與l'垂直，垂足分別為C、D
根據梯形中位線定理，可得|AC|+|BD|=2|MN|=6
再由拋物線的定義知：|AF|=|AC|，|BF|=|BD|
∴|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=6．
即線段AB的長為6

點評：本題給出過拋物線y²=4x焦點的一條弦中點的橫坐標，求該弦的長度．著重考查了拋物線的標準方程和簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．