Question

(本小題滿分14分)

已知圓的方程為，定直線的方程為．動圓與圓外切，且與直線相切．

（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡的方程；

（II）斜率為的直線與軌跡相切于第一象限的點，過點作直線的垂線恰好經過點，并交軌跡于異于點的點，記為（為坐標原點）的面積，求的值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），即為動圓圓心C的軌跡M的方程．（II）

【解析】(I)由題意可動圓圓心C到圓心C₁（0，2）的距離比它到直線y=-1的距離小1,所以C到C₁的距離與它到直線y=-2的距離相等.因而其軌跡為拋物線.

（II）設點P的坐標為，則根據導數可求出切線的斜率為，可得直線PQ的斜率為，所以直線PQ的方程為．再根據此直線過點A（0，6），可求出點P的坐標，進而求出PQ的方程然后再與拋物線方程聯立可得Q的坐標.

從而可求出的面積.

解：（Ⅰ）設動圓圓心C的坐標為，動圓半徑為R，

則，且，可得 ．

由于圓C₁在直線l的上方，所以動圓C的圓心C應該在直線l的上方，所以有，從而得，整理得，即為動圓圓心C的軌跡M的方程．

（II）如圖示，設點P的坐標為，則切線的斜率為，可得直線PQ的斜率為，所以直線PQ的方程為．

由于該直線經過點A（0,6），所以有，得．因為點P在第一象限，所以，點P坐標為（4,2），直線PQ的方程為．

把直線PQ的方程與軌跡M的方程聯立得，

解得或4，可得點Q的坐標為．

所以