Question

已知函數f(x)=a-

2

2x+1

（x∈R）是奇函數，
（Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的值域；
（Ⅲ）判斷函數f（x）在定義域上的單調性，并證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因為f（x）是奇函數，所以f（0）=0，由此可求得a值；
（Ⅱ）由y=1-

2

2x+1

得2^x=

y+1

1-y

，由2^x＞0，得

y+1

1-y

＞0，解出即得值域；
（Ⅲ）根據函數單調性的定義可作出判斷．

解答：解：（Ⅰ）因為f（x）在R上是奇函數，
所以f（0）=0，即a-

2

20+1

=0，解得a=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=1-

2

2x+1

，
由y=1-

2

2x+1

得2^x=

y+1

1-y

，
因為x∈R，所以2^x＞0，所以

y+1

1-y

＞0，解得-1＜y＜1，
所以f（x）的值域為（-1，1）．
（Ⅲ）f（x）在R上是增函數，
任取x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=1-

2

2x1+1

-1+

2

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

．
因為x₁＜x₂，所以2x1＜2x2，2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以f（x）在R上是增函數．

點評：本題考查奇偶性的應用、單調性的判斷及函數值域的求解，考查學生解決問題的能力．