Question

甲、乙兩運動員進行射擊訓練，已知他們擊中的環數都穩定在7，8，9，10環，且每次射擊成績互不影響．射擊環數的頻率分布條形圖如下：

若將頻率視為概率，回答下列問題．

   （Ⅰ）求甲運動員擊中10環的概率；

   （Ⅱ）求甲運動員在3次射擊中至少有1次擊中9環以上（含9環）的概率；

   （Ⅲ）若甲、乙兩運動員各自射擊1次，ξ表示這2次射擊中擊中9環以上（含9環）

         的次數，求ξ的分布列及Eξ．

Answer 1

解法一：（Ⅰ）甲運動員擊中10環的概率是：1-0.1-0.1-0.45=0.35.

    （Ⅱ）設事件A表示“甲運動員射擊一次，恰好命中9環以上（含9環，下同）”，

則P（A）=0.35+0.45=0.8

事件“甲運動員在3次射擊中，至少1次擊中9環以上”包含三種情況：

恰有1次擊中9環以上，概率為p₁=C?0.8¹?（1-0.8）²=0.096；

恰有2次擊中9環以上，概率為p₂=C?0.8²?（1-0.8）¹=0.384；

恰有3次擊中9環以上，概率為p₃=C?0.8³?（1-0.8）⁰=0.512．

因為上述三個事件互斥，所以甲運動員射擊3次，至少1次擊中9環以上的概率

p= p₁+ p₂+ p₃=0.992．

（Ⅲ）記“乙運動員射擊1次，擊中9環以上”為事件B，

則P（B）=1―0.1―0.15=0.75．

    因為表示擊中9環以上的次數，所以的可能取值是0，1，2.

因為P（=2）=0.8?0.75=0.6；

P（=1）=0.8?（1-0.75）+（1-0.8）?0.75=0.35；

P（=0）=（1-0.8）?（1-0.75）=0.05．

所以的分布列是

ξ	0	1	2
P	0.05	0.35	0.6

所以Eξ=0×0.05+1×0.35+2×0.6=1.55．

解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）設事件A表示“甲運動員射擊一次，恰好命中9環以上”（含9環，下同），

則P（A）=0.35+0.45=0.8．

甲運動員射擊3次，均未擊中9環以上的概率為P₀=C?0.8⁰?（1-0.8）³=0.008．6分

所以甲運動員射擊3次，至少1次擊中9環以上的概率P=1-p₀=0.992．

（Ⅲ）同解法一．