Question

（2013•湛江一模）已知數列{a_n}的前n項和為Sn=

3

2

n2-

5

2

n+5，cn=1-

3

an

(n∈N*)．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若c_i•c_i-1＜0（i∈N^*），則稱i是一個變號數，求數列{c_n}的變號數的個數；
（3）根據笛卡爾符號法則，有：若關于實數x的方程anxn+an-1xn-1+…+a2x2+a1x =0的所有素數均為實數，則該方程的正根的個數等于{a_n}的變號數的個數或比變號數的個數多2的倍數，動用以上結論證明：方程c1x3+c2x2-c3x +c₄=0沒有比3大的實數根．

Answer 1

分析：（1）利用等式，再寫一式，兩式相減，可得數列{a_n}的通項公式；
（2）確定數列的通項，確定n≥3時，c_n＞0，從而可數列{c_n}的變號數的個數；
（3）由（2）知該方程為

1

4

x3-

1

2

x2-

2

5

x+

5

8

=0，再令y=x-3，即x=y+3代入，利用系數序列的變號數為0，即可得到結論．

解答：解：（1）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

3

2

n2-

5

2

n+5-

3

2

(n-1)2+

5

2

(n-1)-5=3n-4
n=1時，a₁=S₁=4，上式不適合
∴a_n=

4，n=1 3n-4，n≥2

；
（2）由（1）知，cn=

1 4 ，n=1 1- 3 3n-4 ，n≥2

∴c1=

1

4

，c2=-

1

2

，c3=

2

5

，c4=

5

8

，c5=

8

11

∴n≥3時，c_n＞0
∵c₁c₂＜0，c₂c₃＜0，c₃c₄＞0，c₄c₅＞0，…，
∴數列{c_n}的變號數的個數是2；
（3）由（2）知該方程為

1

4

x3-

1

2

x2-

2

5

x+

5

8

=0
令y=x-3，即x=y+3
代入原方程得：

1

4

(y+3)3-

1

2

(y+3)2-

2

5

(y+3)+

5

8

=0①
整理得

1

4

y3+

7

4

y2+

67

20

y+

67

40

=0
∵系數序列的變號數為0
∴方程①沒有正根，即x-3＞0不成立
∴原方程沒有比3大的實數根．

點評：本題考查數列的通項，考查新定義，考查學生分析解決問題的能力，難度較大．