Question

已知橢圓的左焦點(diǎn)F為圓的圓心，且橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)F的距離最小值為。
（I）求橢圓方程；
（II）已知經(jīng)過點(diǎn)F的動直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)M（），證明：為定值。

Answer 1

（I）（II）當(dāng)直線與軸垂直時，的方程為
，當(dāng)直線與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為，由得，，，所以，為定值，且定值為

試題分析：（1）因?yàn)閳A的圓心為，半徑，所以橢圓的半焦距
又橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)F的距離最小值為，所以，即
所以，所求橢圓的方程為   2分
（2）①當(dāng)直線與軸垂直時，的方程為，可求得
此時，  4分
②當(dāng)直線與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為
由得    6分
設(shè)，則   7分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240125160702125.png" style="vertical-align:middle;" />





所以，為定值，且定值為   13分
點(diǎn)評：本題第二問中直線與橢圓相交時需注意討論直線斜率存在與不存在兩種情況，當(dāng)斜率存在時常聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解化簡