Question

若定義在R上的偶函數f（x）滿足f（x+2）=f（x），且當x∈[0，1]時f（x）=x，則函數y=f（x）-log₄|x|的零點個數為（　　）

A、3

B、4

C、5

D、6

Answer 1

分析：f（x）是個周期為2的周期函數，且是個偶函數，在一個周期[-1，1）上，圖象是2條斜率分別為1和-1的線段，且 0≤f（x）≤1，同理得到在其他周期上的圖象；y=log₄|x|也是個偶函數，圖象過（1，0），和（4，1），結合圖象可得函數y=f（x）的圖象與函數y=log₄|x|的圖象的交點個數，從而得到函數零點個數．

解答：解：由題意知，函數y=f（x）是個周期為2的周期函數，且是個偶函數，在一個周期[-1，1）上，
圖象是2條斜率分別為1和-1的線段，且 0≤f（x）≤1，同理得到在其他周期上的圖象．
函數y=log4|x|也是個偶函數，先看他們在[0，+∞）上的交點個數，則它們總的交點個數是在[0，+∞）上的交點個數的2倍，在（0，+∞）上，y=log₄|x|=log₄x，圖象過（1，0），和（4，1），是單調增函數，與f（x）交與3個不同點，∴函數y=f（x）的圖象與函數y=log₄|x|的圖象的交點個數是6個．
故選D．

點評：本題本題考查函數的周期性、奇偶性、函數圖象的對稱性，體現數形結合的數學思想．考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，其中根據已知條件分析函數的性質，進而判斷出函數零點的分布情況是解答本題的關鍵．