Question

（2006•浦東新區一模）已知函數f(x)=x+log3

x

4-x

．
（1）求f（x）+f（4-x）的值；
（2）猜測函數f（x）的圖象具備怎樣的對稱性，并給出證明；
（3）若函數f（x）的圖象與直線x=1，x=3及x軸所圍成的封閉圖形的面積為S，求S的值．

Answer 1

分析：（1）f(x)+f(4-x)=x+log3

x

4-x

+4-x+log3

4-x

4-(4-x)

=4+log3

x

4-x

+log3

4-x

x

=4．
（2）關于點P（2，2）對稱．證明：設Q（x，y）為函數f(x)=x+log3

x

4-x

圖象上的任一點，若Q點關于點P的對稱點為Q₁（x₁，y₁），則

x+x1=4 y+y1=4

⇒

x1=4-x y1=4-y

．由此能夠證明函數y=f（x）的圖象關于點P（2，2）對稱．
（3）f(1)=1+log3

1

3

=0，f（3）=3+log₃3=4．由對稱性可求出函數y=f（x）的圖象與直線x=1，x=3
及x軸所圍成封閉圖形的面積S．

解答：解：（1）f(x)+f(4-x)=x+log3

x

4-x

+4-x+log3

4-x

4-(4-x)

=4+log3

x

4-x

+log3

4-x

x

=4 （4分）
（2）關于點P（2，2）對稱  （6分）
證明：設Q（x，y）為函數f(x)=x+log3

x

4-x

圖象上的任一點，
若Q點關于點P的對稱點為Q₁（x₁，y₁），
則

x+x1=4 y+y1=4

⇒

x1=4-x y1=4-y

（8分）f(x1)=x1+log3

x1

4-x1

=4-x+log3

4-x

x

=4-x-log3

x

4-x

=4-y=y₁（10分）
∴函數y=f（x）的圖象關于點P（2，2）對稱  （11分）
（3）（可以作圖示意）f(1)=1+log3

1

3

=0，
f（3）=3+log₃3=4（13分）
由對稱性可知，
函數y=f（x）的圖象與直線x=1，x=3
及x軸所圍成封閉圖形的面積
S=

1

2

×(3-1)×4=4（16分）．

點評：本題考查對數函數的圖象和性質，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．