Question

設橢圓（a＞b＞0）與雙曲線有相同的焦點F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0），P為橢圓上一點，△PF₁F₂的最大面積等于．過點N（-3，0）且傾角為30°的直線l交橢圓于A、
B兩點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求證：點F₁（-c，0）在以線段AB為直徑的圓上；
（3）設E、F是直線l上的不同兩點，以線段EF為直徑的圓過點F₁（-c，0），求|EF|的最小值并求出對應的圓方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出雙曲線的焦點坐標，得到橢圓（a＞b＞0）半焦距c=2，再根據△PF₁F₂的最大面積求得b值，從而可得所求橢圓方程；
（2）通過方程組，求出圓心的坐標及圓的直徑，得出線段AB為直徑的圓方程，將點F₁（-2，0）代入驗證滿足圓該圓方程，從而得到以線段AB為直徑的圓過定點F₁；
（3）取EF的中點D為圓心，|EF|=2|DF₁|利用線段DF₁的最小值求得|EF|_min=1．通過聯解方程組，得到圓心坐標及半徑大小，由此即可寫出|EF|取最小值時相應的圓方程．
解答：解：（1）∵雙曲線的焦點F₁（-2，0），F₂（2，0），
∴橢圓（a＞b＞0）半焦距為：2，
又△PF₁F₂的最大面積等于bc=2b=，∴b=
從而，橢圓方程為：
（2）∵，∴由消去y，得2x²+6x+3=0
因此，可得圓心坐標為，半徑
∴圓方程為
∵點F₁（-2，0）滿足圓方程．
∴以線段AB為直徑的圓過定點F₁
（3）取EF的中點D為圓心，則|EF|=2|DF₁|
∴|EF|達到最小值時，F₁D恰好是點F₁到直線l的距離，
即，可得|EF|_min=1；
此時，，聯立方程
得圓心為，半徑為
∴|EF|取最小值時，相應的圓方程為
點評：本小題主要考查雙曲線及橢圓的方程和幾何性質、圓錐曲線的綜合等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、方程思想，屬于中檔題．