Question

設橢圓+=1(a＞b＞0)的左焦點為F₁(－2,0),左準線l₁與x軸交于點N(－3,0),過點N且傾斜角為30°的直線l交橢圓于A、B兩點.

(1)求直線l和橢圓的方程；

(2)求證:點F₁(－2,0)在以線段AB為直徑的圓上.

 

Answer 1

【答案】

(1)解:可知直線l:y=(x+3).

由c=2及=3,解得a²=6,

∴b²=6－2²=2.∴橢圓方程為+=1.

(2)證明:聯(lián)立方程組       

將②代入①,整理得2x²+6x+3=0.

設A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),則x₁+x₂=－3,x₁x₂=.

方法一:k·k=·=

===－1,

∴F₁A⊥F₁B,即∠AF₁B=90°.

∴點F₁(－2,0)在以線段AB為直徑的圓上.

方法二:·=(x₁+2,y₁)·(x₂+2,y₂)=(x₁+2)(x₂+2)+y₁y₂

=x₁x₂+2(x₁+x₂)+4+［x₁x₂+3(x₁+x₂)+9］

=x₁x₂+3(x₁+x₂)+7=0,

∴F₁A⊥F₁B,則∠AF₁B=90°.

∴點F₁(－2,0)在以線段AB為直徑的圓上.

【解析】略