Question

已知棱長為1的正方體AC₁，E，F分別是B₁ C₁和C₁D₁的中點
（1）求點A₁到平面BDFE的距離
（2）求直線A₁D與平面BDFE所成的角．

Answer 1

分析：（1）以D為原點，DA，DC，DD₁的方向分別為X，Y，Z軸的正方向，建立坐標系，求出各頂點的坐標，進而求出平面BDFE的法向量，代入向量點到平面的距離公式，即可得點A₁到平面BDFE的距離；
（2）由（1）知∠DA₁H=45°，從而得出∠A₁DH是直線A₁D與平面BDFE所成角，結合∠DA₁H+∠A₁DH=90°即可得出直線A₁D與平面BDFE所成的角∠A₁DH的大小．

解答：解：（1）建立空間直角坐標系D-xyz，則B（1，1，0），E（1/2，1，1），F（0，1/2，1），
設

n

=（x，y，z）是平面BDFE的法向量，由

n

⊥

DB

，

n

⊥

DF

，

DB

=（1，1，0），

DF

=（0，1/2，1）得：

n

•

DB

=x+y=0

n

•

DF

=1/2y+z=0
所以：x=-yz=-y/2令y=1，得

n

=（-1，1，1/2），
設點A在平面BDFE上的射影為H，
連接A₁D，A₁D是平面BDFE的斜線段，
則：cos＜

A1D

，

A1H

＞=

2

2

，
所以|

A1H

|=|

A1D

|•cos＜

A1D

，

A1H

＞=1所以點A₁到平面BEFE的距離為1；
（2）由（1）知∠DA₁H=45°，
∠A₁DH是直線A₁D與平面BDFE所成角，
且∠DA₁H+∠A₁DH=90°
所以∠A₁DH=45°．

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，點、線、面的距離的計算，其中根據已知建立空間坐標系，將問題轉化為向量的夾角問題是解答本題的關鍵．