Question

已知．
（1）若是周期為π的偶函數，求ω和θ的值；
（2）g（x）=f（3x）在上是增函數，求ω的最大值；并求此時g（x）在[0，π]上的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=sinωx+3cosωx=2sin（ωx+），
∴y=f（x+θ）=2sin[ω（x+θ）+]，
∵y=f（x+θ）是周期為π的偶函數，0＜θ＜，
∴ω=2，2θ+=kπ+∈（，），
∴k=0，θ=．
（2））∵g（x）=f（3x）=2sin（3ωx+）在（-，）上是增函數，
∴由2kπ-≤3ωx+≤2kπ+（k∈Z），ω＞0得：
≤x≤（k∈Z），
∵f（3x）=2sin（3ωx+）在（-，）上是增函數，
∴≤，≤-，ω＞0
∴0＜ω≤．
∴ω_max=．
當ω=時，f（x）=2sin（x+），f（3x）=2sin（x+）．
∵x∈[0，π]，
∴x+∈[，]，
∴≤sin（x+）≤1．
∴≤2sin（x+）≤2．
∴當x∈[0，π]，f（3x）=2sin（x+）∈[，2]．
分析：（1）依題意，y=f（x+θ）=2sin[ω（x+θ）+]，利用y=f（x+θ）是周期為π的偶函數，0＜θ＜，即可求得ω和θ的值；
（2）g（x）=f（3x）=2sin（3ωx+），利用正弦函數的單調性可求ω的最大值；并求此時f（x）在[0，π]上的取值范圍．
點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查正弦函數的周期與單調性，考查三角綜合運算能力，屬于難題．