Question

已知函數f（x）=log_a（1+sin²

x

2

-sin⁴

x

2

），其中0＜a＜1．
（1）判定函數f（x）的奇偶性；
（2）函數f（x）是否周期函數？若是，最小正周期是多少？
（3）試寫出函數f（x）的單調區間和最大值、最小值；
（4）當a=

1

2

時，試研究關于x的方程f（x）=b在[-

π

2

，

3π

4

]上的解的個數．

Answer 1

分析：（1）先求函數的定義域，然后判定f（-x）與f（x）的關系，最后根據函數奇偶性的定義進行判定；
（2）利用同角三角函數關系和降冪公式進行化簡變形，從而求出函數的周期；
（3）根據復合函數單調性的性質求出函數的單調區間，然后根據單調性可得函數的最值；
（4）由數形結合，討論b的可求出關于x的方程f（x）=b在[-

π

2

，

3π

4

]上的解的個數．

解答：解：（1）∵函數f（x）的定義域為R，關于原點對稱
且f（-x）=log_a（1+sin²

x

2

-sin⁴

x

2

）=f（x）對x∈R恒成立，
∴函數f（x）是偶函數．
（2）f（x）=log_a（1+sin²

x

2

-sin⁴

x

2

）=log_a[1+sin²

x

2

（1-sin²

x

2

）]
=log_a[1+

1

4

sin²x]
=log_a（

9

8

-

1

8

cos2x）
∴函數f（x）是周期函數，最小正周期是π
（3）函數f（x）的單調增區間為[（k-

1

2

）π，kπ]，k∈Z；
函數f（x）的單調遞減區間為[kπ，(k+

1

2

)π]，k∈Z
∴函數f（x）的最大值為0；   函數f（x）的最小值為loga

5

4

（4）由數形結合得，

當b＞0或b＜log

1

2

5

4

時，方程無解；             
當b=0時方程有一個解；                                         
當b=log

1

2

5

4

或b∈(log

1

2

9

8

，0)時方程有2個解；                
當b∈(log

1

2

5

4

，log

1

2

9

8

]時方程有3個解．

點評：本題主要考查了函數的單調性和奇偶性，以及函數的單調區間和函數與方程，同時考查了數形結合法，屬于中檔題．