Question

已知函數y=f（x）是R上的偶函數，對任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，當x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠x₂時，都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0．給出下列命題：
①f（2）=0且T=4是函數f（x）的一個周期；
②直線x=4是函數y=f（x）的一條對稱軸；
③函數y=f（x）在[-6，-4]上是增函數；
④函數y=f（x）在[-6，6]上有四個零點．
其中正確命題的序號為（　　）

A．②③④

B．①②③

C．①③④

D．①②④

Answer 1

分析：根據題意，依次分析所給的命題：對于①，用特殊值法，將x=-2代入f（x+4）=f（x）+f（2）中，中，變形可得f（-2）=0，結合函數的奇偶性可得f（2）=f（-2）=0，進而將f（2）=0代入f（x+4）=f（x）+f（2）中，可得f（x+4）=f（x），符合函數周期性的定義，綜合可得①正確；對于②，結合①的結論可得f（x）是以4為周期的函數，結合函數的奇偶性，分析可得直線x=4也是函數y=f（x）的一條對稱軸，可得②正確；對于③，由題意可得f（x）在[0，2]上為單調增函數，結合函數是偶函數，可得f（x）在[-2，0]上為減函數，又由f（x）的周期性，分析函數y=f（x）在區間[-6，-4]的單調性可得③錯誤；對于④，由①可得，f（2）=f（-2）=0，又由f（x）是以4為周期的函數，則f（-6）=f（6）=0，即函數y=f（x）在區間[-6，6]上有四個零點，④正確；綜合可得答案．

解答：解：根據題意，依次分析命題，
對于①，在f（x+4）=f（x）+f（2）中，令x=-2可得，f（2）=f（-2）+f（2），即f（-2）=0，
又由函數y=f（x）是R上偶函數，則f（2）=f（-2）=0，
而f（x+4）=f（x）+f（2），則有f（x+4）=f（x），
即f（x）是以4為周期的函數，
則①正確；
對于②，由①可得f（x）是以4為周期的函數，
又由函數y=f（x）是R上偶函數，即f（x）的一條對稱軸為y軸，即x=0，
則直線x=4也是函數y=f（x）的一條對稱軸，②正確；
對于③，由當x₁，x₂∈[0，2]，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，可得f（x）在[0，2]上為單調增函數，
又由函數y=f（x）是R上偶函數，則f（x）在[-2，0]上為減函數，
又由f（x）是以4為周期的函數，則函數y=f（x）在區間[-6，-4]上為減函數，③錯誤；
對于④，由①可得，f（2）=f（-2）=0，
又由f（x）是以4為周期的函數，則f（-6）=f（-2）=0，f（4）=f（2）=0，
即函數y=f（x）在區間[-6，6]上有四個零點，④正確；
正確的命題為①②④；
故選D．

點評：本題考查抽象函數的應用，涉及函數奇偶性，單調性的判斷與應用；關鍵是根據題意，運用特殊值法，分析得到f（x）的周期性、單調性以及f（2）的值．