Question

已知函數f（x-2）=ax²-（a-3）x+a-2（a為負整數）的圖象經過點（m-2，0），m∈R，設 g（x）=f[f（x）]，F（x）=p•g（x）+f（x），問是否存在實數p（p＜0）使得 F（x）在區間 （-∞，f（2）） 上是減函數，且在區間 （f（2），0）上是增函數？并證明你的結論．

Answer 1

分析：由已知中函數f（x-2）=ax²-（a-3）x+a-2（a為負整數）的圖象經過點（m-2，0），可得a的范圍，進而根據a為負整數，可得a的值，求出F（x）的解析式，進而利用導數法，可得函數的單調性，進而求出P值．

解答：解：存在，證明如下：
∵f（x-2）=ax²-（a-3）x+a-2
∴f（x）=a（x+2）²-（a-3）（x+2）+a-2
∵函數的圖象經過點（m-2，0），
∴am²-（a-3）m+a-2=0
故△=（a-3）²-4a（a-2）≥0
即3a²-2a-9≤0
解得

1-2 7

3

≤a≤

1+2 7

3

又∵a為負整數
∴a=-1
∴f（x）=-（x+2）²+4（x+2）-3=-x²+1
∴f（2）=-3
∴g（x）=f[f（x）]=-（-x²+1）²+1=-x⁴+2x²，
則F（x）=p•g（x）+f（x）=-px⁴+（2p-1）x²+1
則F′（x）=-4px³+（4p-2）x=x[-4px²+（4p-2）]
∵p＜0
∴-4px²+（4p-2）=0存在兩個互為相反的根-n，n
令F′（x）=0，則x=-n，或x=0，或x=n
當x＜-n時，F′（x）＜0，F（x）為減函數，
當-n＜x＜0時，F′（x）＞0，F（x）為增函數，
故-n=-3，即n=3
∴p=-

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點評：本題考查的知識點是函數單調性的判斷與證明，函數解析式的求法，本題的綜合性強，運算強度大，屬于難題．