Question

過雙曲線的右焦點F作實軸所在直線的垂線，交雙曲線于A，B兩點，設雙曲線的左頂點M，若點M在以AB為直徑的圓的內部，則此雙曲線的離心率e的取值范圍為（　　）

Answer 1

分析：設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，作出圖形如圖，由左頂點M在以AB為直徑的圓的內部，得|MF|＜|AF|，將其轉化為關于a、b、c的式子，再結合平方關系和離心率的公式，化簡整理得e²-e-2＞0，解之即可得到此雙曲線的離心率e的取值范圍．

解答：解：設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，a＞b＞0
則直線AB方程為：x=c，其中c=

a2+b2

因此，設A（c，y₀），B（c，-y₀），
∴

c2

a2

-

y02

b2

=1，解之得y₀=

b2

a

，得|AF|=

b2

a

，
∵雙曲線的左焦點M（-a，0）在以AB為直徑的圓內部
∴|MF|＜|AF|，即a+c＜

b2

a

，
將b²=c²-a²，并化簡整理，得2a²+ac-c²＜0
兩邊都除以a²，整理得e²-e-2＞0，解之得e＞2（舍負）
故選：C

點評：本題給出以雙曲線通徑為直徑的圓，當左焦點在此圓內時求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的標準方程和簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．