Question

【題目】已知橢圓．

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）設為坐標原點，為橢圓上的三個動點，若四邊形為平行四邊形，判斷的面積是否為定值，并說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的面積為定值.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由已知，橢圓的標準方程為，則離心率；（Ⅱ）由已知，的面積等于的面積，分情況：若是橢圓的右頂點，的面積；若不是橢圓的左、右頂點，可設，，則由四邊形為平行四邊形，得，即，聯立方程由韋達定理知，又到的距離，所以的面積.

試題解析：（Ⅰ）橢圓的標準方程為：

所以。

所以橢圓的離心率。

（Ⅱ）①若是橢圓的右頂點（左頂點一樣），此時垂直平方。

所以。

所以的面積。

②若不是橢圓的左、右頂點，設，

，

由得，

，

。

因為四邊形為平行四邊形，

所以。

所以，

代入橢圓方程，化簡得。

因為

。

點到的距離。

所以的面積。

綜上，的面積為定值。

因為的面積等于的面積，

所以的面積為定值。