Question

 （本小題滿分12分）如圖，在中，是上的高，沿把折起，使 。

（Ⅰ）證明：平面ADB  ⊥平面BDC；

（Ⅱ）設Ｅ為BC的中點，求AE與DB夾角的余弦值。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）＜，＞=．

【解析】此題主要考查面面垂直和異面直線夾角公式的求法，第二問解題的關鍵是作出輔助線，此題是一道中檔題，也是高考必考題；（1）已知在△ABC中，AD是BC上的高，沿AD把△ABC折起，使∠BDC=60°，可得AD⊥DC，AD⊥DB，根據面面垂直的判定定理進行求解；

（2）作輔助線，取DC中點F，連接EF，則EF∥BD，可得∠AEF為異面直線AE與BD所成的角，再根據余弦定理和向量公式進行求解；

解（Ⅰ）∵折起前ＡＤ是ＢＣ邊上的高，

∴ 當Δ ＡＢＤ折起后，AD⊥ＤＣ，AD⊥ＤＢ，又DBＤＣ＝Ｄ，

∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ，∵AD 平面平面BDC．平面ABD平面BDC。----4分

（Ⅱ）由∠ ＢＤＣ＝及（Ⅰ）知DA，ＤＢ，DC兩兩垂直，不防設=1，以D為坐標原點，以所在直線軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

易得D（0,0,0），B（1,0,0），C（0,3,0），A（0,0，），E（，，0），

=，=（1，0,0,），

與夾角的余弦值為

＜，＞=

．--------12分