Question

在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C所對的邊，且滿足2bcosA=

3

(ccosA+acosC)
（1）求A的大小； （2）若a=2，c=2

3

，且b＞c，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）由2bcosA=

3

(ccosA+acosC)利用正弦定理得2sinBcosA=

3

sin(A+C)=

3

sinB從而可求cosA進一步可求 A
（2）由已知及（1）中的A考慮利用余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA?b²-6b+8=0結合b＞c可求b，然后代入面積公式S=

1

2

bcsinA
（法二）利用正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

可求sinC，進一步可求 C，利用三角形的內角和定理可求 A，然后代入三角形的面積公式可求

解答：解：（1）由2bcosA=

3

(ccosA+acosC)
利用正弦定理得：2sinBcosA=

3

(sinCcosA+sinAcosC)（2分）
即：2sinBcosA=

3

sin(A+C)=

3

sinB（4分）
所以cosA=

3

2

，A=

π

6

（6分）
（2）由余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA?b²-6b+8=0，又b＞c得b=4
所以S=

1

2

bcsinA=2

3

（12分）
也可利用正弦定理
（法二）由正弦定理可得

a

sinA

=

c

sinC

可得，sinC=

csinA

a

=

2 3 × 1 2

2

=

3

2

b＞c可得C為銳角，故 C=60°，B=90°
S=

1

2

ac=

1

2

×2×2

3

=2

3

點評：三角形是研究三角函數的重要載體，在與三角形有關的試題中，正弦定理與余弦定理的應用已經成為高考命題的熱點，解決此類問題，要善于抓住三角形邊與角之間的關系，要學會將問題轉化為三角恒等變形問題來處理．