Question

在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心C(3,)，半徑為1.Q點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)，O為極點(diǎn).

(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；

(2)若P在直線OQ上運(yùn)動(dòng)，且滿足，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.

Answer 1

解析:在△OCQ中,根據(jù)余弦定理,可找到圓C上的任意一點(diǎn)Q的ρ、θ之間的關(guān)系；通過比例,可找到Q點(diǎn)與P點(diǎn)極坐標(biāo)之間的關(guān)系,從而求出點(diǎn)P的軌跡方程.?

解:(1)設(shè)Q(ρ,θ)為圓C上任意一點(diǎn),如圖,在△OCQ中,|OC|=3,|OQ|=ρ,|CQ|=1,∠COQ=|θ-|,根據(jù)余弦定理,得1=ρ²+9-2·ρ·3·cos|θ-|,化簡(jiǎn)整理,得ρ²-6·ρcos(θ-)+8=0為圓C的軌跡方程.?

(2)設(shè)Q(ρ₁,θ₁),則有ρ₁²-6·ρ₁cos(θ₁-)+8=0.           ①?

設(shè)P(ρ,θ),則OQ∶QP=ρ₁∶(ρ-ρ₁)=2∶3ρ₁=ρ.又θ₁=θ,即?

代入①得ρ²-6·ρcos(θ-)+8=0,?

整理得ρ²-15ρcos(θ-)+50=0為P點(diǎn)的軌跡方程.