Question

從雙曲線x²-y²=1上一點Q引直線x+y=2的垂線，垂足為N．求線段QN的中點P的軌跡方程．

Answer 1

分析：設P（x，y），欲求其軌跡方程，即尋找其坐標間的關系，根據垂線的關系及點Q在雙曲線上，代入其方程即可得到．

解答：解：設動點P的坐標為（x，y），點Q的坐標為（x₁，y₁）
則N（ 2x-x₁，2y-y₁）代入x+y=2，得2x-x₁+2y-y₁=2    ①
又PQ垂直于直線x+y=2，故

y-y1

x-x1

=1，即x-y+y₁-x₁=0     ②
由①②解方程組得x₁=

3

2

x+

1

2

y-1，y₁=

1

2

x+

3

2

y-1，
代入雙曲線方程即可得P點的軌跡方程是2x²-2y²-2x+2y-1=0．

點評：求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問題．代入法：動點所滿足的條件不易表述或求出，但形成軌跡的動點P（x，y）卻隨另一動點Q（x’，y’）的運動而有規律的運動，且動點Q的軌跡為給定或容易求得，則可先將x’，y’表示為x，y的式子，再代入Q的軌跡方程，然而整理得P的軌跡方程，代入法也稱相關點法．