Question

從雙曲線x²-y²=1上一點(diǎn)Q引直線x+y=2的垂線，垂足為N，則線段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程為

 

．

Answer 1

分析：設(shè)P（x，y），欲求其軌跡方程，即尋找其坐標(biāo)間的關(guān)系，根據(jù)垂線的關(guān)系及點(diǎn)Q在雙曲線上，代入其方程即可得到．

解答：解：設(shè)P（x，y），Q（x₁，y₁），則N（2x-x₁，2y-y₁），
∵N在直線x+y=2上，
∴2x-x₁+2y-y₁=2①
又∵PQ垂直于直線x+y=2，∴

y-y1

x-x1

=1，
即x-y+y₁-x₁=0．②
由①②得

x1= 3 2 x+ 1 2 y-1 y1= 1 2 x+ 3 2 y-1

，
又∵Q在雙曲線x²-y²=1上，
∴x₁²-y₁²=1．
∴（

3

2

x+

1

2

y-1）²-（

1

2

x+

3

2

y-1）²=1．
整理，得2x²-2y²-2x+2y-1=0即為中點(diǎn)P的軌跡方程．
故答案為：2x²-2y²-2x+2y-1=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了軌跡方程的問(wèn)題．求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問(wèn)題．代入法：動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件不易表述或求出，但形成軌跡的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）卻隨另一動(dòng)點(diǎn)Q（x’，y’）的運(yùn)動(dòng)而有規(guī)律的運(yùn)動(dòng)，且動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為給定或容易求得，則可先將x’，y’表示為x，y的式子，再代入Q的軌跡方程，然而整理得P的軌跡方程，代入法也稱相關(guān)點(diǎn)法．