Question

已知m∈R，設命題P：不等式|x|+|x-1|＞m的解集是R，命題Q：函數f（x）=log₂（x²+2x-m）的定義域是R．如果P或Q為真命題，P且Q為假命題，求m的取值集合．

Answer 1

解：P：∵|x|+|x-1|≥|-x+1|=1，
又不等式|x|+|x-1|＞m的解集為R，
∴m＜1 …（3分）
Q：∵f（x）=log₂（x²+2x-m）的定義域為R，
∴當x∈R時，x²+2x-m＞0恒成立，
即△＜0解得m＜-1，…（6分）
由題意知P、Q中恰有一個為真命題 即或，
解得：-1≤m＜1 …（10分）
∴m的取值范圍為：-1≤m＜1．…（12分）
分析：P：由|x|+|x-1|≥|-x+1|=1，及不等式|x|+|x-1|＞m的解集為R，可求m＜1；Q：f由（x）=log₂（x²+2x-m）的定義域為R，可得x²+2x-m＞0恒成立，解得m＜-1
由題意知P、Q中恰有一個為真命題 可求m的范圍
點評：本題主要考查了符合命題的真假的應用，絕對值不等式的應用，對數函數恒成立的求解，解題的關鍵是把每個命題為真的范圍求出