Question

 

已知數(shù)列{a_n}中，a₁＝，點（n，2a_n＋1－a_n）（n∈N^*）在直線y＝x上，

   （Ⅰ）計算a₂，a₃，a₄的值；

   （Ⅱ）令b_n＝a_n＋1－a_n－1，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；

   （Ⅲ）設(shè)S_n、T_n分別為數(shù)列{a_n}、{b_n}的前n項和，是否存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{}為等差數(shù)列？若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由．

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解析 : （Ⅰ）由題意，2a_n＋1－a_n＝n，又a₁＝，所以2a₂－a₁＝1，解得a₂＝，

同理a₃＝，a₄＝．                                             （3分）

（Ⅱ）因為2a_n＋1－a_n＝n，

所以b_n＋1＝a_n＋2－a_n＋＝－a_n＋＝，

b­_n＝a_n＋1－a_n－1＝a_n＋1－（2a_n＋1－n）－1＝n－a_n＋＝2b_n＋1，即＝

又b₁＝a₂－a＝－，所以數(shù)列{b_n}是以－為首項，為公比的等比數(shù)列．

（Ⅲ）由（2）得，b_n＝－×（）＝－3×（），

T_n＝＝3×（）－．

又a_n＋1＝n－1－b_n＝n－1＋3×（），所以a_n＝n－2＋3×（）ⁿ，

所以S_n＝－2n＋3×＝＋3－．        （11分）

由題意，記c_n＝．要使數(shù)列{c_n}為等差數(shù)列，只要c_n＋1－c_n為常數(shù)．

c_n＝＝＝＋（3－λ）×，

c_n－1＝＋（3－λ）×，

則c_n－c_n－1＝＋（3－λ）×（－）．

故當λ＝2時，c_n－c_n－1＝為常數(shù)，即數(shù)列{}為等差數(shù)列．        （14分）