Question

已知二次函數f（x）=ax²+x．
（1）設函數g（x）=（1-2t）x+t²-1，當a=1，函數h（x）=f（x）+g（x）在區間（-2，4）內有兩個相異的零點，求實數t的取值范圍．
（2）當a＞0，求證對任意兩個不等的實數x₁，x₂，都有f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

；
（3）若x∈[0，1]時，-1≤f（x）≤1，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=1，函數h（x）=x²+（2-2t）x+t²-1，由題意可得

h(-2)=t2+4t-1＞0 h(4)=t2-8t+23＞0 h(t-1)=2t-2 ＜0

，由此求得實數t的取值范圍
（2）計算f(x1)+f(x2)-2f(

x1+x2

2

)，化簡可得

1

2

a(x1-x2)2＞0，從而證得結論．
（3）由題意可得x∈[0，1]時，-1≤ax²+x≤1，當x=0時，顯然成立．當x∈（0，1]時，由ax²+x+1≥0恒成立，求得a≥-2；由ax²+x-1≤0恒成立，求得a≤0．再由a不等于0，從而求得a的取值范圍．

解答：解：（1）當a=1，函數h（x）=f（x）+g（x）=x²+（2-2t）x+t²-1．
由題意可得

h(-2)=t2+4t-1＞0 h(4)=t2-8t+23＞0 h(t-1)=2t-2 ＜0

，即

t＜-2- 5 ，  或 t＞-2+ 5 t∈R t＜1

，解得-2+

5

＜t＜1．
故實數t的取值范圍為（-2+

5

，1）．
（2）∵f(x1)+f(x2)-2f(

x1+x2

2

)=a

x

2 1

+x1+a

x

2 2

+x2-2[a(

x1+x2

2

)2+a(

x1+x2

2

)] 
=

1

2

a(x1-x2)2＞0，
故對任意兩個不等的實數x₁，x₂，都有f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

．
（3）由題意可得x∈[0，1]時，-1≤f（x）≤1，即-1≤ax²+x≤1，
即x∈[0，1]時，ax²+x+1≥0且ax²+x-1≤0恒成立，
當x=0時，顯然，ax²+x+1≥0且ax²+x-1≤0均成立．
當x∈（0，1]時，由ax²+x+1≥0恒成立，得a≥-

1

x2

-

1

x

=-(

1

x

+

1

2

)2+

1

4

，
而-(

1

x

+

1

2

)2+

1

4

在x∈（0，1]最大值為-2，∴a≥-2．
當x∈（0，1]時，由ax²+x-1≤0恒成立，得a≤

1

x2

-

1

x

=(

1

x

-

1

2

)2-

1

4

，
而(

1

x

-

1

2

)2-

1

4

在x∈（0，1]最小值為0，∴a≤0．
綜上可得，-2≤a≤0．
而由題意可得a≠0，因此所求的a的取值范圍為[-2，0）．

點評：本題主要考查了一元二次方程的根的分布與系數的關系，二次函數的性質的應用，函數的恒成立問題，屬于中檔題．