Question

4．用0，1，2，3，4，5，6這七個數字：
（1）能組成多少個無重復數字的四位奇數？
（2）能組成多少個無重復數字且為5的倍數的五位數？
（3）能組成多少個無重復數字且比31560大的五位數？

Answer 1

分析 （1）根據題意，分3步進行分析：①、個位從1，3，5選擇一個，②、千位數字不可選0，從剩下的5個中選一個，③、在剩下的5個數字中選出2個，安排在百位、十位數字，分別求出每一步的情況數目，由分步計數原理計算可得答案；
（2）分2種情況討論：①、個位數上的數字是0，②個位數上的數字是5，分別求出每一種情況的五位數個數，由加法原理計算可得答案；
（3）分析可得：符合要求的比31560大的五位數可分為四類分4種情況討論，分別求出每一種情況的五位數個數，由加法原理計算可得答案．

解答 解：（1）根據題意，分3步進行分析：
①、個位從1，3，5選擇一個，有$C_3^1$種選法，
②、千位數字不可選0，從剩下的5個中選一個，有$C_5^1$種選法，
③、在剩下的5個數字中選出2個，安排在百位、十位數字，有A₅²種選法，
則$C_3^1×C_5^1×A_5^2=300$個無重復數字的四位奇數；
（2）分2種情況討論：
①、個位數上的數字是0，在其余的4個數字中任選4個，安排在前4個數位，有$A_6^4$種情況，
則此時的五位數有$A_6^4$個；
②、個位數上的數字是5，
首位數字不可選0，從剩下的5個中選一個，有$C_5^1$種選法，在剩下的5個數字中選出3個，安排在中間3個數位，
有$C_5^1A_5^3$種情況，
則此時符合條件的五位數有$C_5^1A_5^3$個．
故滿足條件的五位數的個數共有$A_6^4+C_5^1A_5^3=660$個；
（3）符合要求的比31560大的五位數可分為四類：
第一類：形如4□□□□，5□□□□，6□□□□，共$C_3^1A_6^4$個；
第二類：形如32□□□，34□□□，35□□□，36□□□共有$C_4^1A_5^3$個；
第三類：形如316□□，共有$A_4^2$個；
第四類：形如3156□，共有2個；
由分類加法計數原理知，無重復數字且比31560大的四位數共有：$C_3^1A_6^4+C_4^1A_5^3+A_4^2+2=1334$個．

點評 本題考查分類計數及簡單計數問題，解題的關鍵是理解所研究的事件，對計數問題分類計數．