Question

某工廠生產一種產品的原材料費為每件40元，若用x表示該廠生產這種產品的總件數，則電力與機器保養等費用為每件0.05x元，又該廠職工工資固定支出12500元．
（1）把每件產品的成本費P（x）（元）表示成產品件數x的函數，并求每件產品的最低成本費；
（2）如果該廠生產的這種產品的數量x不超過3000件，且產品能全部銷售，根據市場調查：每件產品的銷售價Q（x）與產品件數x有如下關系：Q（x）=170-0.05x，試問生產多少件產品，總利潤最高？（總利潤=總銷售額-總的成本）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據每件產品的成本費P（x）等于三部分成本和，建立函數關系，再利用基本不等式求出最值即可；
（2）設總利潤為y元，根據總利潤=總銷售額-總的成本求出總利潤函數，利用二次函數的性質求出取最值時，x的值即可．
解答：解：（Ⅰ）根據某工廠生產一種產品的成本費由三部分組成，①職工工資固定支出12500元；②原材料費每件40元；③電力與機器保養等費用為每件0.05x元，
可得
由基本不等式得
當且僅當，即x=500時，等號成立   
∴的最小值為90元． 
∴每件產品的最低成本費為90元
（Ⅱ）設總利潤為y元，
∵每件產品的銷售價Q（x）與產品件數x有如下關系：Q（x）=170-0.05x
∴總銷售額=xQ（x）=170x-0.05x²，
則y=xQ（x）-xP（x）=-0.1x²+130x-12500=-0.1（x-650）²+29750
當x=650時，y_max=29750
答：生產650件產品時，總利潤最高，最高總利潤為29750元．
點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用，以及二次函數的性質，同時考查了建模的能力，屬于中檔題