Question

某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的成本費共由三部分組成：①原材料費每件50元；②職工工資支出7500+20x元；③電力與機器保養(yǎng)等費用為x²-30x+600元：其中x是該廠生產(chǎn)這種產(chǎn)品的總件數(shù)．
（I）把每件產(chǎn)品的成本費p（x）（元）表示成產(chǎn)品件數(shù)x的函數(shù)，并求每件產(chǎn)品的最低成本費；
（Ⅱ）如果該廠生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的數(shù)量x不超過170件且能全部銷售，根據(jù)市場調(diào)查，每件產(chǎn)品的銷售價為Q（x）（元），且
Q（x）=1240-

1

30

x2．試問生產(chǎn)多少件產(chǎn)品，總利潤最高？并求出最高總利潤．（總利潤=總銷售額-總的成本）

Answer 1

分析：（I）根據(jù)每件產(chǎn)品的成本費P（x）等于三部分成本和，建立函數(shù)關(guān)系，再利用基本不等式求出最值即可；
（Ⅱ）設(shè)總利潤為y元，根據(jù)總利潤=總銷售額-總的成本求出總利潤函數(shù)，利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識方法求解．

解答：解：（I）P（x）=50+

7500+20x

x

+

x2-30x+600

x

=

8100

x

+x+40．
由基本不等式得P（x）≥2

8100 x •x

+40=220．當(dāng)且僅當(dāng)

8100

x

=x，即x=90時，等號成立．
所以P（x）=

8100

x

+x+40．每件產(chǎn)品的最低成本費為220 元．
（Ⅱ）設(shè)總利潤為y=f（x）=xQ（x）-xP（x）=-

1

30

x3 -x2+1200x-8100，
f′（x）=-

1

10

x2 -2x +1200=-

1

10

（x-100）（x+120）
當(dāng)0＜x＜100時，f′（x）＞0，當(dāng)x＞100時，f′（x）＜0．
所以f（x）在（0，100）單調(diào)遞增，在（100，170）單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x=100時，ymax=f（100）=

205700

3

故生產(chǎn)100件產(chǎn)品時，總利潤最高，最高總利潤為

205700

3

．

點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，以及函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識方法，同時考查了建模的能力，屬于中檔題．