Question

假設p、q都是奇數，求證：關于x的方程x²＋px＋q＝0無整數根.

 

Answer 1

答案：
解析：

證法一：只有在Δ＝p2－4q＝（p－m）2時((p－m)2表示完全平方數,其中由－4q＝－2pm＋m2可知m應為偶數)才可能有整數根.化簡上式得出p與q的關系：q＝p·－（）2，因p是奇數，不論是怎樣的整數，都可得q為偶數，這與已知q為奇數相矛盾，則判別式Δ的值不會是一個完全平方數，故方程無整數根. 證法二：假設方程有整數根α，無論α是奇數還是偶數，都必有α2＋pα＋q為奇數，這與α2＋pα＋q＝0矛盾.故方程無整數根.