（xn+
），n∈N. （Ⅰ）證明：對n≥2，總有xn≥
；
（Ⅱ）證明：對n≥2，總有xn≥xn+1；
（Ⅲ）若數列｛xn｝的極限存在，且大于零，求
xn的值.
（19）本小題主要考查數列、數列極限、不等式等基本知識，考查邏輯能力.
（Ⅰ）證明：由x1=a＞0及xn+1=（xn+），可歸納證明xn＞0（沒有證明過程不扣分）.
從而有xn+1=（xn+）≥
（n∈N）,
所以，當n≥2時，xn≥
成立.
（Ⅱ）證法一：當n≥2時，因為xn≥
＞0，xn+1=
（xn+
），
所以xn+1－xn=
（xn+
）－xn =
·
≤0，
故當n≥2時，xn≥xn+1成立
證法二：當n≥2時，因為xn≥
＞0，xn+1=
（xn+
），
所以
=
≤
=1，
故當n≥2時，xn≥xn+1成立.
（Ⅲ）解：記
xn=A，則
xn+1=A，且A＞0.
由xn+1=
（xn+
），
得
xn+1=
（
xn+
），
即A=
（A+
）.
由A＞0，解得A=
，故
xn=
.
科目：高中數學 來源： 題型：
（xn+
），n∈N. （Ⅰ）證明：對n≥2，總有xn≥
;
（Ⅱ）證明：對n≥2，總有xn≥xn+1.
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