Question

（19）數列{x_n}由下列條件確定：x₁=a＞0，x_n+1=（x_n+），n∈N.

（Ⅰ）證明：對n≥2，總有x_n≥;

 

（Ⅱ）證明：對n≥2，總有x_n≥x_n+1.

Answer 1

（19）本小題主要考查數列、數列極限、不等式等基本知識，考查邏輯思維能力.

 

（Ⅰ）證明：由x₁=a＞0及x_n+1=（x_n+），可歸納證明x_n＞0（沒有證明過程不扣分）.

 

從而有x_n+1=（x_n+）≥=（n∈N）,

 

所以，當n≥2時，x_n≥成立.

 

（Ⅱ）證法一：當n≥2時，因為x_n≥＞0，x_n+1=（x_n+），

 

所以x_n+1－x_n=（x_n+）－x_n=·≤0，

 

故當n≥2時，x_n≥x_n+1成立.

 

證法二：當n≥2時，因為x_n≥＞0，x_n+1=（x_n+），

所以==≤=1，

 

故當n≥2時，x_n≥x_n+1成立.