Question

【題目】太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽魚，太極圖展現了一種相互轉化，相互統一的和諧美．定義：能夠將圓O的周長和面積同時等分成兩部分的函數稱為圓煌一個“太極函數”下列有關說法中：
①對圓O：x2+y2=1的所有非常數函數的太極函數中，一定不能為偶函數；
②函數f（x）=sinx+1是圓O：x2+（y﹣1）2=1的一個太極函數；
③存在圓O，使得f（x）= 是圓O的太極函數；
④直線（m+1）x﹣（2m+1）y﹣1=0所對應的函數一定是圓O：（x﹣2）2+（y﹣1）2=R2（R＞0）的太極函數．
所有正確說法的序號是 ．

Answer 1

【答案】②④
【解析】解：對①顯然錯誤，如圖

對②，點（0，1）均為兩曲線的對稱中心，且f（x）=sinx+1能把圓x2+（y﹣1）2=1一分為二，正確；

對③，函數為奇函數f（x）= =1+ ，當x→0（x＞0）時，

f（x）→+∞，

當x→+∞時，f（x）→1，[f（x）＞1]，函數遞減；

當x→0（x＜0）時，f（x）→﹣∞，

當x→﹣∞時，f（x）→﹣1，[f（x）＜﹣1]，

函數f（x）關于（0，0）中心對稱，有三條漸近線y=±1，x=0，

可知，函數的對稱中心為間斷點，故不存在圓使得滿足題干條件．③不正確；

對于④直線（m+1）x﹣（2m+1）y﹣1=0恒過定點（2，1）的直線，經過圓的圓心，滿足題意．④正確；

故所有正確的是②④．

所以答案是：②④．

【考點精析】掌握函數的圖象和命題的真假判斷與應用是解答本題的根本，需要知道函數的圖像是由直角坐標系中的一系列點組成；圖像上每一點坐標（x，y）代表了函數的一對對應值，他的橫坐標x表示自變量的某個值，縱坐標y表示與它對應的函數值；兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．