Question

如圖所示直角梯形ABCD中，∠A=90°，PA⊥面ABCD，AD||BC，AB=BC=a，AD=2a，與底面ABCD成30⁰角．若AE⊥PD，E為垂足，PD與底面成30°角．
（1）求證：BE⊥PD；
（2）求異面直線AE與CD所成的角的大小．

Answer 1

為了計算方便不妨設a=1．
（1）證明：根據題意可得：以A為原點，AB，AD，AP所在直線為坐標軸建立直角坐標系（如圖）
則 A(0，0，0)，B(1，0，0)D(0，2，0)P(0，0，

2 3

3

)

AB

•

PD

=(1，0，0)•(0，2，-

2 3

3

)=0
又

AE

•

PD

=0∴

AB

⊥

PD

，

AE

⊥

PD

所以

PD

⊥面BEA，BE?面BEA，
∴PD⊥BE
（2）∵PA⊥面ABCD，PD與底面成30°角，
∴∠PDA=30°
過E作EF⊥AD，垂足為F，則AE=AD•sin30°=1，∠EAF=60°
AF=

1

2

，EF=

3

2

∴E(0，

1

2

，

3

2

)，
于是

AE

=(0，

1

2

，

3

2

)
又 C(1，1，0)，D(0，2，0)，

CD

=(-1，1，0)
則 COSθ=

AE • CD

| AE || CD |

=

2

4

∴AE與CD所成角的余弦值為

2

4

．