Question

已知函數（a為常數），直線l與函數f（x）、g（x）的圖象都相切，且l與函數f（x）的圖象的切點的橫坐標為1．
（1）求直線l的方程及a的值；
（2）當k＞0時，試討論方程f（1+x²）-g（x）=k的解的個數．

Answer 1

解：（1）f′（x）=，f′（1）=1，故直線l的斜率為1，
切點為（1，f（1）），即（1，0）∴l：y=x-1 ①
又∵g′（x）=x∴g′（1）=1，切點為（1，+a）
∴l：y-（+a）=x-1，即y=x-+a ②
比較①和②的系數得-+a=-1，∴a=-． （6分）
（2）由f（1+x²）-g（x）=k，即
設y₁=ln（1+x²）-．
令y'₁=1，解得x=0，-1，1．

由函數y₁在R上各區間上的增減及極值情況，可得
（1）當時有兩個解；
（2）當時有3個解；
（3）當時有4個解
（4）當k=ln2時有2個解；
（5）當k＞ln2時無解．（13分）
分析：（1）根據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=1處的導數，從而求出切線的斜率，再用點斜式寫出切線方程，化成斜截式即可，再根據直線l與函數f（x）、g（x）的圖象都相切建立等量關系，即可求出a的值；
（2）先令y₁=f（1+x²）-g（x）求出y₁’=0的值，再討論滿足y₁’=0的點附近的導數的符號的變化情況，來確定極值，由函數y₁在R上各區間上的增減及極值情況，可得方程f（1+x²）-g（x）=k的解的個數．
點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及利用導數研究函數的極值和方程解的個數，同時考查了函數與方程、分類討論的思想，屬于基礎題．