Question

(本小題滿分12分)已知函數.（）

（1）若函數有三個零點，且，，求函數 的單調區間；

（2）若，，試問：導函數在區間(0，2)內是否有零點，并說明理由.

（3）在（Ⅱ）的條件下，若導函數的兩個零點之間的距離不小于，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）當時，的單調遞減區間是（1，4），單調遞增區間是 。當時，的單調遞增區間是（1，4），單調遞減區間是（4分）（2）導函數在區間(0，2)內至少有一個零點.（3）.

【解析】

試題分析：（1）因為，又，  

則  ………   （1分）

因為x₁，x₃是方程的兩根，則

，，.即      …… （2分）

從而：，

所以. 

令   解得： … ………          （3分）

當時，的單調遞減區間是（1，4），單調遞增區間是 。

當時，的單調遞增區間是（1，4），單調遞減區間是（4分）

（2）因為，，所以，

即.

因為，所以，即.       （5分）

于是，，.

①當時，因為，

則在區間內至少有一個零點.        （6分）

②當時，因為，

則在區間（1，2）內至少有一零點.

故導函數在區間(0，2)內至少有一個零點.          （8分）

（3）設m，n是導函數的兩個零點，則，.

所以.

由已知，，則，即.

所以，即或.               （10分）

又，，所以，即.

因為，所以. 

綜上分析，的取值范圍是.                          （12分）

考點：本題考查了導數的運用

點評：可導函數的極值點都是導數等于零的點，求出結果要帶回去檢驗，求函數的單調區間都是轉化為導數與０的大小關系進行確定，導數大于０，原函數遞增，導函數小于０，則原函數遞減，特別是函數含字母時，要注意字母對解不等式的影響，有時需要分類討論