Question

設函數f（x）=|x|x+bx+c，給出下列4個命題：
①b=0，c＞0時，方程f（x）=0只有一個實數根；
②c=0時，y=f（x）是奇函數；
③y=f（x）的圖象關于點（0，c）對稱；
④函數f（x）至多有2個零點．
上述命題中的所有正確命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：對于①，將b的值代入，可得f（x）的解析式，進而根據函數的圖象變化的規律，可得其正確；
對于②，將c的值代入，可得f（x）的解析式，進而由奇函數判斷方法，求有f（-x）與-f（x）的關系，分析可得其正確；
對于③，由②可得函數f（x）=|x|x+bx的奇偶性，進行圖象變化可得其正確；
對于④，舉反例|x|x-5x+6=0有三個解-6、2、3，可得其錯誤；
進而綜合可得答案．

解答：解：①、當b=0，c＞0時，f（x）=|x|x+c=

x2+c -x2+c

，結合圖形知f（x）=0只有一個實數根，故①正確；
②、當c=0時，f（x）=|x|x+bx，有f（-x）=-f（x）=-|x|x-bx，故y=f（x）是奇函數，故②正確；
③、y=f（x）的圖象可由奇函數f（x）=|x|x+bx，向上或向下平移|c|而得到，y=f（x）的圖象與y軸交點為（0，c），故函數y=f（x）的圖象關于（0，c）對稱，故③正確；
④、舉例可得，方程|x|x-5x+6=0有三個解-6、2、3，即三個零點，故④錯誤；
故答案為①②③．

點評：本題考查了函數的零點、對稱性、奇偶性等知識點，注意結合函數的圖象與圖象的變化進行分析．