Question

下列函數中，既是奇函數又在區間（-1，1）上是減函數的是（　�。�

• A．y=x³
• B．y=|x-1|
• C．y=tanx
• D．y=lg

  1-x

  1+x

Answer 1

分析：利用函數的奇偶性和單調性即可判斷出．

解答：解：A．∵f（-x）=（-x）³=-f（x），∴f（x）在區間（-1，1）上是奇函數，
∵f′（x）=3x²≥0，∴在區間（-1，1）上是增函數，不滿足條件．
B．∵f（-x）=|-x-1|=|x+1|≠-f（x），故不是奇函數；
C．∵f（-x）=tan（-x）=-tanx=-f（x），故f（x）在區間（-1，1）上是奇函數，但是y=tanx在區間（-1，1）上是增函數，因此不符合條件；
D．由

1-x

1+x

＞0，化為（x-1）（x+1）＜0，解得-1＜x＜1，可得函數f（x）的定義域為（-1，1）關于原點對稱．
又f（-x）=lg

1+x

1-x

=-lg

1-x

1+x

=-f（x），可得f（x）是奇函數．
∵f（x）=lg(

2

1+x

-1)在（-1，1）上是單調遞減函數，
∴函數f（x）=lg

1-x

1+x

滿足題意．
綜上可知：只有D滿足題意．
故選D．

點評：本題考查了函數的奇偶性和單調性，屬于中檔題．