Question

已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，底面ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)為F，AC=2

2

，PA=2，E是PC上的一點(diǎn)，且PE=2CE．
（Ⅰ）證明：PC⊥EF；   
（Ⅱ）證明∠BED是二面角B-PC-D的平面角；
（Ⅲ）設(shè)二面角A-PB-C為90°，求PD與平面PBC所成角的大小．

Answer 1

分析：（I）證明△FCE∽△PCA，∠FEC=∠PAC=90°，即可得出結(jié)論；
（II）證明PC⊥平面BED，可得EB⊥PC，ED⊥PC，從而∠BED是二面角B-PC-D的平面角；
（III）在平面PAB內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作AG⊥PB，G為垂足，證明BC⊥平面PAB，求出D點(diǎn)到平面PBC的距離，即可求出PD與平面PBC所成角的大小．

解答：（Ⅰ）證明：因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">AC=2

2

，PA=2，PE=2EC，
故PC=2

3

，EC=

2 3

3

，F(xiàn)C=

2

，
從而

PC

FC

=

6

，

AC

EC

=

6

．
因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">

PC

FC

=

AC

EC

，∠FCE=∠PCA，
所以△FCE∽△PCA，∠FEC=∠PAC=90°，
由此知PC⊥EF．    …（5分）
（Ⅱ）證明：因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以BD⊥AC．
又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD．
由（Ⅰ）知PC⊥EF，所以PC與平面BED內(nèi)兩條相交直線BD，EF都垂直，
所以PC⊥平面BED．
因?yàn)锽E、ED在平面平面BED內(nèi)，所以EB⊥PC，ED⊥PC，所以∠BED是二面角B-PC-D的平面角．   …（9分）
（Ⅲ）解：在平面PAB內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作AG⊥PB，G為垂足．
因?yàn)槎�面角A-PB-C為90°，所以平面PAB⊥平面PBC．
又平面PAB∩平面PBC=PB．
故AG⊥平面PBC，AG⊥BC．
所以BC與平面PAB內(nèi)兩條相交直線PA，AG都垂直，故BC⊥平面PAB，
于是BC⊥AB，
所以底面ABCD為正方形，AD=2，PD=

PA2+AD2

=2

2

．    …（11分）
設(shè)D到平面PBC的距離為d．
因?yàn)锳D∥BC，且AD?平面PBC，BC?平面PBC，
故AD∥平面PBC，A、D兩點(diǎn)到平面PBC的距離相等，即d=AG=

2

．
設(shè)PD與平面PBC所成的角為α，則sina=

d

PD

=

1

2

．
所以PD與平面PBC所成的角為30°．                          …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線線垂直，考查空間角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．