Question

已知向量

a

=(sinx，-1)，

b

=(

3

cosx，-

1

2

)，函數f(x)=(

a

+

b

)•

a

-2．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期T；
（Ⅱ）將函數f（x）的圖象向左平移

π

6

上個單位后，再將所得圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的3倍，得到函數g（x）的圖象，求函數g（x）的解析式及其對稱中心坐標．

Answer 1

分析：（I）根據向量數量積的坐標運算公式，得

a

2=sin²x+1，

a

•

b

=

3

sinxcosx+

1

2

，代入函數表達式，結合二倍角三角函數公式化簡整理，得f（x）=sin(2x-

π

6

)，由三角函數周期公式可得最小正周期T；
（II）由三角函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的公式，可得g(x)=sin(

2

3

x+

π

6

)，最后結合三角函數圖象對稱中心的公式，可得函數圖象的對稱中心．

解答：解：（Ⅰ）∵

a

=(sinx，-1)，

b

=(

3

cosx，-

1

2

)
∴

a

2=sin²x+1，

a

•

b

=

3

sinxcosx+

1

2

∴f(x)=(

a

+

b

)•

a

-2=

a2

+

a

•

b

-2
=sin2x+1+

3

sinxcosx+

1

2

-2…（2分）
=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin(2x-

π

6

)…（4分）
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π…（6分）
（Ⅱ）向左平移

π

6

個單位，得y=sin[2(x+

π

6

)-

π

6

]=sin(2x+

π

6

)…（8分）
橫坐標伸長為原來的3倍，得g(x)=sin(

2

3

x+

π

6

)…（10分）
令

2

3

x+

π

6

=kπ，得x=

3kπ

2

-

π

4

，其中k∈Z
∴函數g（x）圖象對稱中心坐標坐標為：(

3

2

kπ-

π

4

，0)，其中k∈Z…（12分）

點評：本題以向量數量積運算為載體，考查了三角函數的圖象與性質和二倍角三角函數公式等知識，屬于基礎題．