Question

在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，（如圖）E是棱C₁D₁的中點，F是側面AA₁D₁D的中心．
（1）求三棱錐A₁-D₁EF的體積；
（2）求EF與底面A₁B₁C₁D₁所成的角的大小．（結果可用反三角函數表示）

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱C₁D₁的中點，F是側面AA₁D₁D的中心，我們利用等體積法，可得三棱錐A₁-D₁EF的體積等于三棱錐E-D₁A₁F的體積，分別求出其底面面積和高，代入棱錐的體積公式，即可得到答案．
（2）取A₁D₁的中點G，易得FG⊥平面A₁B₁C₁D₁，根據線面夾角的定義可得∠GEF即為EF與底面A₁B₁C₁D₁所成的角的平面角，解Rt△GEF即可得到EF與底面A₁B₁C₁D₁所成的角的大小．
解答：解：（1）．（6分）（體積公式正確3分）
（2）取A₁D₁的中點G，則FG⊥平面A₁B₁C₁D₁，EF在底面A₁B₁C₁D₁的射影為GE，所求的角的大小等于∠GEF的大小，（8分）
在Rt△GEF中，所以EF與底面A₁B₁C₁D₁所成的角的大小是．（12分）
點評：本題考查的知識點是棱錐的體積，直線與平面所成的角，其中（1）的關鍵是利用等體積法，將求三棱錐A₁-D₁EF的體積轉化為求三棱錐E-D₁A₁F的體積，降低運算的難度，（2）的關鍵是確定出∠GEF即為EF與底面A₁B₁C₁D₁所成的角的平面角．