Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c，滿足，f（0）=f（1）=0，且f（x）的最小值是-

1

4

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設g（x）=ln x-f（x）f′（x），求g（x）的最大值及相應的x值；
（3）對任意正數x，恒有f（x）+f(

1

x

)≥（x+

1

x

）1n m，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）借助二次函數的對稱性，設出函數解析式，利用f（0）=0，即可得到函數解析式；
（2）求導函數，確定函數的單調性，即可求最值；
（3）對任意正數x，恒有f（x）+f(

1

x

)≥（x+

1

x

）1nm，等價于對任意正數x，恒有（x2+

1

x2

）-（x+

1

x

）≥（x+

1

x

）1nm，換元，利用函數的單調性，即可得到結論．

解答：解：（1）由二次函數圖象的對稱性，可設f（x）=a（x-

1

2

）²-

1

4

，
又f（0）=0，∴a=1
∴f（x）=x²-x；
（2）g（x）=ln x-f（x）f′（x）=lnx-（x²-x）（2x-1），
∴g′（x）=

1

x

-6x²+6x-1=（1-x）（6x²+1）（x＞0）
∴0＜x＜1時，g′（x）＞0，x＞1時，g′（x）＜0
∴函數在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減
∴x=1時，函數g（x）取得最大值為0；
（3）對任意正數x，恒有f（x）+f(

1

x

)≥（x+

1

x

）1nm，等價于對任意正數x，恒有（x2+

1

x2

）-（x+

1

x

）≥（x+

1

x

）1nm，
令t=x+

1

x

（t≥2），則x2+

1

x2

=t²-2
∴對任意正數x，恒有t²-2-t≥tlnm
∴lnm≤t-

2

t

-1
∵t≥2，∴t-

2

t

-1≥0
∴lnm≤0
∴0＜m≤1．

點評：本題考查函數解析式的確定，考查函數的單調性與最值，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．