Question

如圖，橢圓C₂的焦點為F₁，F₂，|A₁B₁|=，S_□B1A1B2A2=2S_□B1F1B2F2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設n為過原點的直線，l是與n垂直相交與點P，與橢圓相交于A，B兩點的直線||=1，是否存在上述直線l使=0成立？若存在，求出直線l的方程；并說出；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意可知a²+b²=7，a=2c，由此能夠求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設A、B兩點的坐標分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），假設使成立的直線l存在．
（i）當l不垂直于x軸時，根據題設條件能夠推出直線l不存在．
（ii）當l垂直于x軸時，滿足||=1的直線l的方程為x=1或x=-1，由A、B兩點的坐標為或．當x=1時，=-．當x=-1時，=-．所以此時直線l也不存在．由此可知，使=0成立的直線l不成立．
解答：解：（Ⅰ）由題意可知a²+b²=7，
∵S_□B1A1B2A2=2S_{□B1F1B2F2，}
∴a=2c．
解得a²=4，b²=3，c²=1．
∴橢圓C的方程為．
（Ⅱ）設A、B兩點的坐標分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），假設使成立的直線l存在．
（i）當l不垂直于x軸時，設l的方程為y=kx+m，由l與n垂直相交于P點，且||=1得
，即m²=k²+1，由得x₁x₂+y₁y₂=0，將y=kx+m代入橢圓得（3+4k²）x²+8kmx+（4m²-12）=0，，①，，②
0=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=x₁x₂+k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
把①②代入上式并化簡得（1+k²）（4m²-12）-8k²m²+m²（3+4k²）=0，③
將m²=1+k²代入③并化簡得-5（k²+1）=0矛盾．即此時直線l不存在．
（ii）當l垂直于x軸時，滿足||=1的直線l的方程為x=1或x=-1，
由A、B兩點的坐標為或．
當x=1時，==-．
當x=-1時，==-．
∴此時直線l也不存在．
綜上所述，使=0成立的直線l不成立．
點評：本題綜合考查直線和橢圓的位置關系，解題時要認真審題，靈活地運用公式．