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如圖,橢圓C2的焦點為F1,F2,|A1B1|=,S□B1A1B2A2=2S□B1F1B2F2
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設n為過原點的直線,l是與n垂直相交與點P,與橢圓相交于A,B兩點的直線||=1,是否存在上述直線l使=0成立?若存在,求出直線l的方程;并說出;若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(Ⅰ)由題意可知a2+b2=7,a=2c,由此能夠求出橢圓C的方程.
(Ⅱ)設A、B兩點的坐標分別為A(x1,y1),B(x2,y2),假設使成立的直線l存在.
(i)當l不垂直于x軸時,根據題設條件能夠推出直線l不存在.
(ii)當l垂直于x軸時,滿足||=1的直線l的方程為x=1或x=-1,由A、B兩點的坐標為.當x=1時,=-.當x=-1時,=-.所以此時直線l也不存在.由此可知,使=0成立的直線l不成立.
解答:解:(Ⅰ)由題意可知a2+b2=7,
∵S□B1A1B2A2=2S□B1F1B2F2,
∴a=2c.
解得a2=4,b2=3,c2=1.
∴橢圓C的方程為
(Ⅱ)設A、B兩點的坐標分別為A(x1,y1),B(x2,y2),假設使成立的直線l存在.
(i)當l不垂直于x軸時,設l的方程為y=kx+m,由l與n垂直相交于P點,且||=1得
,即m2=k2+1,由得x1x2+y1y2=0,將y=kx+m代入橢圓得(3+4k2)x2+8kmx+(4m2-12)=0,,①,,②
0=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=x1x2+k2x1x2+km(x1+x2)+m2
把①②代入上式并化簡得(1+k2)(4m2-12)-8k2m2+m2(3+4k2)=0,③
將m2=1+k2代入③并化簡得-5(k2+1)=0矛盾.即此時直線l不存在.
(ii)當l垂直于x軸時,滿足||=1的直線l的方程為x=1或x=-1,
由A、B兩點的坐標為
當x=1時,==-
當x=-1時,==-
∴此時直線l也不存在.
綜上所述,使=0成立的直線l不成立.
點評:本題綜合考查直線和橢圓的位置關系,解題時要認真審題,靈活地運用公式.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源:2011-2012學年山東省濰坊市三縣高三12月聯考理科數學試卷 題型:解答題

如圖,橢圓C:焦點在軸上,左、右頂點分別為A1、A,上頂點為B.拋物線C1、C:分別以A、B為焦點,其頂點均為坐標原點O,C1與C2相交于直線上一點P.

 

 

⑴求橢圓C及拋物線C1、C2的方程;

⑵若動直線與直線OP垂直,且與橢圓C交于不同兩點M、N,已知點Q(,0),求的最小值.

 

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

如圖,橢圓C2數學公式的焦點為F1,F2,|A1B1|=數學公式,S□B1A1B2A2=2S□B1F1B2F2
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設n為過原點的直線,l是與n垂直相交與點P,與橢圓相交于A,B兩點的直線|數學公式|=1,是否存在上述直線l使數學公式=0成立?若存在,求出直線l的方程;并說出;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數學 來源:2010年高考數學試卷精編:8.1 橢圓(解析版) 題型:解答題

如圖,橢圓C2的焦點為F1,F2,|A1B1|=,S□B1A1B2A2=2S□B1F1B2F2
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設n為過原點的直線,l是與n垂直相交與點P,與橢圓相交于A,B兩點的直線||=1,是否存在上述直線l使=0成立?若存在,求出直線l的方程;并說出;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數學 來源:2010年陜西省高考數學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

如圖,橢圓C2的焦點為F1,F2,|A1B1|=,S□B1A1B2A2=2S□B1F1B2F2
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設n為過原點的直線,l是與n垂直相交與點P,與橢圓相交于A,B兩點的直線||=1,是否存在上述直線l使=0成立?若存在,求出直線l的方程;并說出;若不存在,請說明理由.

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