Question

（1）設函數f（x）=xlnx+（1-x）ln（1-x）（0＜x＜1），求f（x）的最小值；
（2）設正數p1，p2，p3，…，p2n滿足p1+p2+p3+…+p2n=1，求證：p1lnp1+p2lnp2+p3lnp3+…+p2nlnp2n≥-n．

Answer 1

分析：（1）先求導函數，進而得導數為0的點，根據函數的定義域確定函數的單調性，從而可確定函數f（x）的最小值；
 （2）利用數學歸納法進行證明，關鍵是第二步的證明：假定當n=k時命題成立，即若正數p1，p2，…，p2k滿足p1+p2+…+p2k=1，則p1log2p1+p2log2p2+…+p2klog2p2k≥-k．
再證明 n=k+1時，需利用歸納假設，從而得證．

解答：（1）解：對函數f（x）求導數：f'（x）=（xlnx）'+[（1-x）ln（1-x）]'=lnx-ln（1-x）．于是f′(

1

2

)=0．
當x＜

1

2

，f′(x)=lnx-ln(1-x)＜0，f(x)在區間(0，

1

2

)是減函數，
當x＞

1

2

，f′(x)=lnx-ln(1-x)＞0，f(x)在區間(

1

2

，1)是增函數．
所以f(x)在x=

1

2

時取得最小值，f(

1

2

)=ln

1

2

，
（2）用數學歸納法證明．
（i）當n=1時，由（1）知命題成立．
（ii）假定當n=k時命題成立，即若正數p1，p2，…，p2k滿足p1+p2+…+p2k=1，
則p1log2p1+p2log2p2+…+p2klog2p2k≥-k．
當n=k+1時，若正數p1，p2，…，p2k+1滿足p1+p2+…+p2k+1=1，
令x=p1+p2+…+p2k，q1=

p1

x

，q2=

p2

x

，…，q2k=

p2k

x

．
則q1，q2，…，q2k為正數，且q1+q2+…+q2k=1．
由歸納假定知q1lnp1+p2lnp2+…+q2klnq2k≥-k．p1lnp1+p2lnp2+…+p2klnp2k=x(q1lnq1+q2lnq2+…+q2klnq2k+lnx）≥x（-k）+xlnx，①
同理，由p2k+1+p2k+2+…+p2k+1=1-x可得p2k+1lnp2k+1+…+p2k+1lnp2k+1≥（1-x）（-k）+（1-x）n（1-x）．②
綜合①、②兩式p1lnp1+p2lnp2+…+p2k+1lnp2k+1≥[x+（1-x）]（-k）+xlnx+（1-x）ln（1-x）
≥-（k+1）．
即當n=k+1時命題也成立．
根據（i）、（ii）可知對一切正整數n命題成立．

點評：本題以函數為載體，考查導數的運用，考查不等式的證明，注意數學歸納法的證題步驟．