Question

【題目】已知圓經過點，圓的圓心在圓的內部，且直線被圓所截得的弦長為.點為圓上異于的任意一點，直線與軸交于點，直線與軸交于點.

（1）求圓的方程；

（2）求證: 為定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析．

【解析】試題分析：（1）首先根據條件設出圓心及半徑，然后利用弦長公式求得半徑，再利用點到直線的距離公式求得圓心，從而求得圓的方程；（2）直線的斜率不存在可直接求出定值，直線與直線的斜率存在時，設點，由此得到直線的方程與的方程，從而求得點的坐標，進而利用向量數量積公式求出定值．

試題解析：（1） 易知點在線段的中垂線上，故可設,圓的半徑為．

∵直線被圓所截得的弦長為，且到直線的距離,或.

又圓的圓心在圓的內部，

,圓的方程.

（2）證明: 當直線的斜率不存在時, . 當直線與直線的斜率存在時,

設,直線的方程為,令得.

直線的方程為, 令得.

,

故為定值為