Question

在△ABC中，|

AB

|=c，

|BC

|=a，|

CA

|=b，O是△ABC內(nèi)的一點，若c

OC

+a

OA

+b

OB

=

0

，則O是△ABC的_______心．（　　）

• A、重心
• B、內(nèi)心
• C、外心
• D、垂心

Answer 1

分析：利用向量加法的三角形法則，我們易將向量分解為

OB

=

OA

+

AB

，

OC

=

OA

+

AC

，結(jié)合c

OC

+a

OA

+b

OB

=

0

，|

AB

|=c，

|BC

|=a，|

CA

|=b，判斷出O在∠BAC的平分線上，同理證明出O也在∠BCA和∠ABC的平分線上后，即可得到答案．

解答：解：∵

OB

=

OA

+

AB

，

OC

=

OA

+

AC

，
代入c

OC

+a

OA

+b

OB

=

0

，得

AO

=

c AC +b AB

a+b+c

又∵|

AB

|=c，|

CA

|=b
∴

AO

=

bc

a+b+c

(

AB

| AB |

+

AC

| AC |

)
由平行四邊形法則知

AO

與∠BAC的平分線共線
即O在∠BAC的平分線
同理，O也在∠BCA和∠ABC的平分線上
故O是△ABC的內(nèi)心．
故選B

點評：本題考查的知識點是向量加減混合運算及其幾何意義，三角形五心，其中根據(jù)向量的運算性質(zhì)，判斷出O點在三角形的角平分線上是解答本題的關(guān)鍵．