Question

已知數(shù)列a_n滿足：a₁=2，a_n+1=2a_n+1；
（1）求證：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）求數(shù)列n（a_n+1）的前n項和．

Answer 1

分析：（1）由已知可得a_n+1+1=2a_n+2=2（a_n+1），由等比數(shù)列的定義可得；
（2）由（1）可得a_n+1=3×2^n-1，進而可得a_n=3×2^n-1-1；
（3）由（2）可得n（a_n+1）=3n×2^n-1，下由錯位相減法求和可得．

解答：解：（1）由已知可得a_n+1+1=2a_n+2=2（a_n+1），
故可得數(shù)列{a_n+1}是2為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）可知數(shù)列{a_n+1}的公比為2，首項為3
故可得a_n+1=3×2^n-1，故a_n=3×2^n-1-1；
（3）由（2）可得n（a_n+1）=3n×2^n-1，
故數(shù)列n（a_n+1）的前n項和
S_n=3（1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n×2^n-1） ①
兩邊同乘以2可得：
2S_n=3（1×2¹+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ） ②
①-②可得：-S_n=3（1+2¹+2²+2³+…+2^n-1-n×2ⁿ）
=3（

1-2n

1-2

-n×2ⁿ）=3（1-n）2ⁿ-3，
故S_n=3（n-1）2ⁿ+3

點評：本題考查錯位相減法求和，涉及等比關系的確定，屬中檔題．