Question

已知一個長方體共一頂點的三個面的面積分別是

2

、

3

、

6

，這個長方體的對角線長為

6

；它的外接圓的體積為

6

π

．

Answer 1

分析：由題意設三個邊的長分別是a，b，c，則有ab=

2?

，bc=

3?

，ca=

6?

，由此求出a，b，c的值，由公式求出對角線的長，再利用對角線長即為它的外接球的直徑求出半徑后得到體積即可．

解答：解：可設長方體同一個頂點上的三條棱長分別為a，b，c，
列出方程組

ab= 2 bc= 3 ac= 6

，
解得

a= 2 b=1 c= 3

故長方體的對角線長是

1+2+3

=

6

∵對角線長即為它的外接球的直徑求出半徑，
∴它的外接球的半徑為

6

2

，
它的外接球的體積為V=

4

3

π×R³=

4

3

×π×(

6

2

)3=

6

π．
故答案為

6

；

6

π．

點評：本題考點是棱柱的結構特征，考查根據題目中所給的條件求出三個棱長的長度，再由球體的體積公式求出體積的能力，本題直接利用公式建立方程求解，題目較易．